4 Modellbildung und Simulation
Für die Hardware und Reglerauslegung können Simulationsmodelle hilfreich sein. Hierdurch kann ohne Schäden zu verursachen geprüft werden ob
Reglerauslegungen oder Schaltungen Funktionieren.
4.1 Simulation der elektrischen Schaltungen
Der Gatetreiber mit Mosfet Halbbrücke wurde vorher mithilfe LTspice entwickelt und Simuliert. Das Simulationsmodell ist in der folgenden Abbildung zu sehen:
4.2 Simulation der Regelung
4.2.1 Die elektrische Regelstrecke
Die Regelstrecke ist der Teil der nach dem Regler kommt. Der Reger gibt auf die Strecke eine Stellgröße und die Strecke antwortet darauf mit der Regelgröße. Das Labornetzteil besitzt eine Kaskadierung von Strom und Spannungsregler. Der Stromregler wird hierbei den Spannungsregler unterlagert. Der Stromregler stellt direkt die Spannung für die elektrische Strecke. Diese besteht aus einer Spule zwei Kondensatoren und einen angenommenen Verbraucher, hier als Widerstand angenommen.
Die Simulation zeigt ein sich Einschwingendes Pt2-Verhalten. Dieses Verhaltet zeigt sich für Strom und Spannung. Als Schaltung ergibt sich ein LC – Schwingkreis. Die Spule besitzt einen Widerstand von 100mΩ und eine Induktivität von 100μH. Der Reihenwiderstand der Kondensatoren wird für die Auslegung vernachlässigt. Als Dämpfungskonstante ergibt sich somit D = 0,1. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems berechnet sich aus der Induktivität und der Kapazität wie folgt:
Somit ergibt sich als Zeitkonstante des ungedämpften Systems:
Bei der Strecke handelt es sich um ein stabiles gedämpftes System. Die Zeitkonstante berechnet sich wie folgt:
Für die Schwingungsfähige pT2 Strecke gilt:
Die Streckenparameter können alternativ aus der Sprungantwort ermittelt werden. Die Formel sind von folgender Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/PT2-Glied (letzter Aufruf am 28.06.2022)
4.2.2 Simulation der Regelung
Für die Simulation der Reglung wird das Programm Scilab / Xcos verwendet. Als Reglerstrucktur wurde sich für eine Kaskadenregelung entschieden. Der Stromregelkreis ist dem Spannungsregelkreis unterlagert. Als Faustformel gilt, dass der unterlagerte Regelkreis 4 mal schneller regeln sollte als der Überlagerte Regelkreis. Für beide Regler ist hier jedoch der selbe Reglertakt von 1024 Hz verwendet. Diese ist der Umsetzung im Mikrocontroller geschuldet, um Rechenleistung und Programmieraufwand einzusparen. Die Regelparameter für Strom und Spannungsregler sind empirisch aus dem Simulationsmodell ermittelt.
Für den Stromregler ergibt sich:
Kp = 0, Ki = 250, Kd = 0
Für den Spannungsregler ergibt sich:
Kp = 1,5 Ki = 10 , Kd = 0
Als Sprungantwort ergibt sich bei einem Lastwiderstand von 6 Ω, Rot Spannung, grün Strom.
Auch bei geringeren Lastwiderständen muss die Regelung eine stabile Performance liefern. Im nachfolgenden Bild ist die Sprungantwort für einen angenommenen Lastwiderstand von 0,2 Ω zu sehen. Zu sehen ist, dass sich der Strom bis zur Begrenzung von 5 Ampere aufbaut und die resultierende Spannung geringer ausfällt als die Sollgröße.
4.3 Erweiterung der Reglersimulation
Die Simulation ist bisher nahezu Analog ausgeführt. Die Reglung erfolgt jedoch über einen Algorithmus und Digital.
4.3.1 Normierung der Messgrößen
Da der Arduino über keine floting point unit verfügt, müssen die Messwerte auf Integerwerte Normiert werden. Berechnungen mit Fließkommazahlen würden den Mikrocontroller deutlich mehr auslasten. Die physikalischen Messgrößen sind deshalb auf Integerwerte zu Normieren. Für die Spannungsmessung ergibt sich durch den ADC und die Messschaltung folgende Normierung (55V sind 5Volt am Analogeingang, 1024 ist die maximale Auflösung des Analogeingangs).
Für die Strommessung ergibt sich bei einer Auslenkung des Sensors um 2,5V (2,5 V entspricht 0 Ampere und ist die Ruhelage des Sensors, 5 Volt +20 Ampere und 0 Volt -20Ampere):
Die Regelverstärkungen müssen diese Normierung berücksichtigen. Der Mikrocontroller rechnet ja nicht mit Spannung oder Ampere. Als Übertragungsfunktion gilt für ein linear und zeitinvariantes System :
Wobei Y(s) die Ausgangsgröße und U(s) die Eingangsgröße ist. Beim Spannungsregler ist die Eingangsgröße eine Spannung und die Ausgangsgröße ein Strom. Für den Spannungsregler ergibt sich für die Verstärkungsfaktoren folgender Umrechnungsfaktor Fu:
Der Stromregler bekommt als Führungsgröße einen Strom und gibt eine Spannung aus. Für den Stromregler gilt:
4.3.2 Integrationsgrenzen der Regler
Erreicht die Regelung die Stellgrößenbegrenzung, baut sich der Integralanteil unzulässig auf. Überschwingen und sogenannte "wind up" Effekte treten auf. Zum besseren Verständnis hier ein Beispiel.
Der Stromregler wird auf 1 Ampere begrenzt. Als Last liegen 6 Ohm am Ausgang an. Die Sollspannung beträgt 12V. Durch die Begrenzung von 1 Ampere sind nur 6V als Ausgangsspannung möglich. Der Integralteil des Spannungsreglers würde sich nun weiterhin aufbauen, da es eine Regelabweichung von 6 V gibt die nicht ausgeglichen wird. Als folge resultiert, dass bei Änderung der Sollgröße, die maximale Stellgröße bis zum Abbau des Integralwertes erhalten bleibt. Bei Sprüngen, bei denen die maximale Stellgröße kurzzeitig überschritten wird, kommt es zu Überschwingen.
Wird hingegen die Integralbegrenzung so ausgelegt, dass bei erreichen der Stellgröße der Integralwert nicht weiter aufgebaut werden kann, verringern sich die Effekte. Als maximale Stellgröße für den Spannungsregler, resultiert die eingestellte Strombegrenzung. Der Ausgangsanteil des Integralanteils berechnet sich wie folgt:
Mit Vx als Regelabweichung der Spannung, ΣVx Summe aller vorhergehenden Regelabweichungen und ΔT als Abtastzeit. Wird für YI die Stellgrößenbegrenzung verwendet und die Gleichung nach dem Integralwert umgestellt, ergibt sich die momentane Integralgrenze.
Für den Stromregler ist die Stellgrößenbegrenzung gleich die Eingangsspannung.
Die Begrenzung des Integralwertes hat auch einen Nachteil. Wird eine Größe geregelt die eine speichernde Wirkung bei der Regelabweichung hat, verliert die Regelung die Informationen der vorhergehenden Regelabweichungen. Ein Beispiel hierfür:
Ein Motor besitzt einen Drehzahlregler aber keinen Positionsregler. Die Drehzahl wird auf Null geregelt. Beim verdrehen des Motors, wird ein höheres Moment aufgebracht als der Motor ausgleichen kann. Der Motor wird dabei weiter verdreht, als die Regelung an Informationen aufnehmen kann. Beim loslassen des Motors wird dieser nicht mehr seine Ausgangsposition erreichen. Ohne Begrenzung würde der Motor in seine Ausgangsposition zurückschwingen.
4.3.3 Zyklischer Aufruf der Regelalgorithmen
Die Regelung im Mikrocontroller wird zyklisch jede Millisekunde durchgeführt. In die Regelung geht hierbei nur ein momentaner Wert ein. Eine Möglichkeit das digitale Reglerverhalten zu simulieren, ist es den Algorithmus selbst in der Simulation einzubringen.
Die Ergebnisse der Simulation mit einen Lastwiderstand von 6 Ohm sind in der folgenden Abbildung zu sehen. Bei normalen Lastsituationen resultiert eine vergleichbare Sprungantwort. Schwarz Ausgangsstrom, grün Ausgangsspannung, rot Ausgangsspannung Stromregler.
Bei Kurzschluss mit einem angenommenen Lastwiderstand von 0,2 Ohm resultiert folgende Sprungantwort.
Der digitale Regler performant in diesen Fall deutlich schlechter. Die Spannung schwingt und der Strom schwingt stark. Ein solcher Zustand kann zu Schäden am Gerät und an angeschlossener Hardware führen. Ein Kurzschluss ist durch Abschalten abzufangen.
Der Strom nimmt hohe Werte an und die sich einstellende Spannung ist gering. Ein Kurzschluss kann durch die Überwachung der beiden Größen detektiert werden. In der Umsetzung im Mikrocontroller wird über 255 Werte der Mittelwert von Strom und Spannung gebildet. Ist die Spannung kleiner 2 V und der Strom größer als der maximal eingestellte Wert, liegt für den Mikrocontroller ein Kurzschluss vor. Für ein sicheres Ausschalten wird an dieser Stelle jedoch nicht Garantiert. Diese Funktion soll lediglich die Sicherheit erhöhen.
4.4 Messungen an der realen Regelstrecke
Die Simulationsergebnisse sind an der echten Schaltung überprüft worden. Die Sprungantwort der Spannung ist in der folgenden Abbildung zu sehen.
Das verhalten bei Kurzschluss am Ausgang ist in der folgenden Abbildung zu sehen:
